Regra de Cramer Regra de Cramer é um método desenvolvido
para encontrar as soluções de sistemas lineares com a utilização do cálculo
do determinante de matrizes. A regra de Cramer
é um método para resolver A+ A- A regra de Cramer é um
método desenvolvido para resolver sistemas
lineares. Sistema linear é um conjunto de equações que se relacionam. Para
encontrar a solução das incógnitas de um sistema linear existem vários
métodos, dentre eles a regra de Cramer. Para encontrar o conjunto de soluções um sistema linear utilizando a
regra de Cramer é necessário conhecer o cálculo do
determinante de uma matriz, pois reescrevemos o sistema linear como uma
matriz dos coeficientes do sistema linear e utilizamos uma relação entre os
determinantes para encontrar o valor de cada uma das incógnitas desse sistema
linear. Ferramenta de Eletrotécnica: Regra de Sarrus- calculando o determinante de matrizes quadradas
de ordem 3 Resumo sobre regra de Cramer
D, Dx, Dy e
Dz são determinantes de matrizes formadas com o sistema. O que é a regra de Cramer? A regra de Cramer foi desenvolvida
pelo matemático Gabriel Cramer, que tinha como
objetivo encontrar um método para facilitar a busca dos valores que são
solução de um sistema linear que possuem o mesmo número de equações e
incógnitas. Um sistema linear é um conjunto de n equações que estão relacionadas entre si. Vejamos um exemplo algébrico de
sistema linear 3x3. A regra de Cramer determina que: D, Dx, Dy e
Dz são determinantes de matrizes
formadas com o sistema.
Para aplicar a regra de Cramer, é necessário
retirar desse sistema linear quatro matrizes 3x3, das quais calcularemos o
determinante. A primeira delas é a matriz formada por
cada um dos coeficientes de x, y e z. Seu determinante é representado por D. Já nas demais matrizes, vamos substituir cada uma das colunas pela
coluna dos valores que estão depois da igualdade. Por exemplo, Dx terá na sua primeira coluna, onde
ficavam os coeficientes de x, os valores de d1, d2 e
d3. Em Dy e Dz, isso acontecerá respectivamente nas 2ª e
3ª colunas: Após calcular os 4 determinantes, é possível obter a razão entre eles, para encontrarmos o valor de cada uma das variáveis. Observação: Como vamos calcular a razão entre os
determinantes, e o denominador sempre será o determinante D, para encontrar
os valores para as incógnitas é necessário que D ≠ 0. Caso o determinante
D seja igual a 0, significa que ou o sistema é impossível, ou seja, não
possui soluções, ou o sistema é possível indeterminando, ou seja, possui
infinitas soluções. Regra de Cramer
em um sistema 2x2 Vejamos, a seguir, a aplicação da regra de Cramer
para encontrar as soluções de um sistema linear 2x2. Exemplo: Resolução: Como esse sistema é 2x2, encontraremos os valores de: D, Dx e Dy. Calculando o determinante, temos que: D = 2 · 2 – 4 · 3 D = 4 – 12 D = – 8 Agora, calcularemos Dx: Dx = 7 · 2 – 10 · 3 Dx = 14 – 30 Dx = – 16 Calcularemos também Dy: Dy = 2 · 10 –
7 · 4 Dy = 20 – 28 Dy = – 8 Em seguida, calcularemos os valores de x e de y: Então, os valores de x e y que satisfazem esse sistema de equação são
x = 2 e y = 1. Regra de Cramer
para um sistema 3x3 Agora, vejamos um exemplo da aplicação da regra de Cramer
para encontrar as soluções de um sistema de equação 3x3. Exemplo: Resolução: Primeiramente, calcularemos o valor de D: D = 1 · 2 · 3 + (– 3) · 1 · 2 + 5 ·
1 · (– 1) – [5 · 2 · 2 + 1 · 1 · (– 1) + (– 3) · 1 · 3] D = 6 – 6 – 5 – [20 – 1 – 9] D = – 5 – 10 D = – 15 Agora, calcularemos o valor de Dx: Dx = 1 · 2 · 3
+ (– 3) · 1 · 10 + 5 · 12 · (– 1) – [5 · 2 · 10 + 1 · 1 · (– 1) + (– 3) · 12
· 3] Dx = 6 – 30 –
60 – [100 – 1 – 108] Dx = – 84 + 9 Dx = – 75 Calculando Dy: Dy = 1
· 12 · 3 + 1 · 1 · 2 + 5 · 1 · 10 – [5 · 12 · 2 + 1 · 1 · 10 + 1 · 1 · 3] Dy = 36 + 2 +
50 – [120 + 10 + 3] Dy = 88 – 133 Dy = – 45 Calculando Dz: Dz = 1 · 2 ·
10 + (– 3) · 12 · 2 + 1 · 1 · (– 1) – [1 · 2 · 2 + 1 · 12 · (– 1) + (– 3) · 1
· 10 Dz = 20 – 72 –
1 – [4 – 12 – 30] Dz = – 53 +38 Dz = – 15 Agora podemos encontrar os valores de x, y e z: Exercícios resolvidos sobre regra
de Cramer Questão 1 Uma determinada escola resolveu realizar jogos olímpicos em
comemoração ao Dia do Cerrado, com 14 modalidades. Os resultados obtidos
foram os seguintes:
Sendo x, y e z as pontuações recebidas para as medalhas de ouro, prata
e bronze, respectivamente, então x + y + z será igual a: A) 8. Resolução: Alternativa B Para encontrar o valor de cada uma das medalhas na pontuação, montaremos
o seguinte sistema: Aplicando a regra de Cramer, temos que: D = 5 ⋅ 4 ⋅ 4 + 5 ⋅ 7 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5 ⋅ 5 – [4 ⋅ 4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 7 ⋅ 5 + 4 ⋅ 5 ⋅ 5] = − 28 Agora, calcularemos Dx: Dx = 43 ⋅ 4 ⋅ 4 + 5 ⋅ 7 ⋅ 39 + 3 ⋅ 44 ⋅ 5 − [39 ⋅ 4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 7 ⋅ 43 + 4 ⋅ 44 ⋅ 53] = −
140 Calculando Dy: Dy = 5 ⋅ 44 ⋅ 4 + 43 ⋅ 7 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5 ⋅ 39 − [4 ⋅ 44 ⋅ 3 + 39 ⋅ 7 ⋅ 5 + 4 ⋅ 5 ⋅ 43] = − 84 Calculando Dz: Dz = 5 ⋅ 4 ⋅ 39 + 5 ⋅ 44 ⋅ 4 + 43 ⋅ 5 ⋅ 5 − [4 ⋅ 4 ⋅ 43 + 5 ⋅ 44 ⋅ 5 + 39 ⋅ 5 ⋅ 5] = − 28 Então, calculando x, y e z, temos que: Por fim, x + y + z = 5 + 3 + 1 = 9. Questão 2 Em uma visita ao supermercado, Kamila, sem querer, acabou esbarrando
em uma prateleira onde havia copos e taças de vidro. Ao todo, 4 copos e 3
taças foram quebrados. Ao chegar ao caixa e informar o ocorrido, ela decidiu
pagar pelos produtos danificados, que totalizaram R$ 15,00. Se o acidente não
tivesse ocorrido e Kamila comprasse 2 copos e uma taça, o valor pago seria de
R$ 6,00. Sabendo disso, o valor de uma taça somado ao de um copo é de: A) R$ 1,50. Resolução: Alternativa C Primeiramente, montaremos o sistema com duas equações. x→ preço do copo y → preço da taça De acordo com o enunciado, temos que: 4x + 3y = 15 2x + y = 6 Aplicando a regra de Cramer: D = 4 · 1 – 2 · 3 D = 4 – 6 D = – 2 Calculando Dx: Dx = 15 · 1 –
3 · 6 Dx = 15 – 18 Dx = – 3 Calculando Dy: Dy = 4 · 6 –
15 · 2 Dy = 24 – 30 Dy= – 6 Dessa forma, temos que: Então, o valor de um copo e uma taça é de 1,50 + 3,00 = R$ 4,50. |